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名校
解题方法
1 . 在四棱锥
中，底面为正方形，
，
为空间中一动点，
为
的中点，
平面.若
，则的轨迹围成封闭图形的体积为________ .
中，底面为正方形，，为空间中一动点，为的中点，平面.若，则的轨迹围成封闭图形的体积为
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18次组卷
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1卷引用：上海市行知中学2023-2024学年高二上学期期末数学试卷
名校
解题方法
2 . 如图，设正方体
的棱长为
，点
是
的中点，点
为空间内两点，且
，则（ ）
的棱长为，点是的中点，点为空间内两点，且，则（ ） a．若平面 ，则点 与点 重合 |
b．设 ，则动点 的轨迹长度为 |
c．平面 与平面 的夹角的余弦值为 |
d．若 ，则平面 截正方体所得截面的面积为 |
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名校
3 . 如图，已知正方体的棱长为6，点在该正方体的表面上运动.
(1)若
，求点的轨迹长度；
(2)已知到三个平面
中的两个平面的距离相等，且到剩下一个平面的距离与到此正方体的中心的距离相等，求满足条件的点个数；
(3)若点是线段
的中点，是正方形
（包括边界）上运动，且满足
，求点的轨迹长度.
的棱长为6，点在该正方体的表面上运动.(1)若
，求点的轨迹长度；(2)已知
到三个平面中的两个平面的距离相等，且到剩下一个平面的距离与到此正方体的中心的距离相等，求满足条件的点个数；(3)若点
是线段的中点，是正方形（包括边界）上运动，且满足，求点的轨迹长度.
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41次组卷
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1卷引用：上海师范大学附属中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题
名校
解题方法
4 . （1）如图所示，一只装有半杯水的圆柱形水杯，将其倾斜使水杯与水平桌面成30°，此时水杯内成椭圆形，求椭圆的离心率；
（2）如图，为圆柱下底面圆
的直径，
是下底面圆周上一点，已知
，圆柱的高为5，若点
在圆柱表面上运动，且满足
，求点的轨迹所围成的图形面积.
（2）如图，
为圆柱下底面圆的直径，是下底面圆周上一点，已知，圆柱的高为5，若点在圆柱表面上运动，且满足，求点的轨迹所围成的图形面积.
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55次组卷
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1卷引用：上海师范大学附属中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题
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名校
5 . 设a、b是半径为
的球体o表面上的两定点，且
，球体o表面上动点m满足
，则点m的轨迹长度为（ ）
的球体o表面上的两定点，且，球体o表面上动点m满足，则点m的轨迹长度为（ ）a． | b． | c． | d． |
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339次组卷
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2卷引用：江西省抚州市金溪一中2024届高三上学期1月考试数学试题
解题方法
6 . 古希腊数学家阿波罗尼奧斯发现:平面上到两定点
距离之比为常数
且
的点的轨迹是一个圆心在直线上的圆,该圆简称为阿氏圆.根据以上信息解决下面的问题:在长方体中,
,点在棱上,
,动点满足为棱
的中点,为
的中点.以
为原点,
所在的直线为
轴,
轴,
轴,建立如图所示的空间直角坐标系.下列说法正确的是（ ）
阿波罗尼奧斯
距离之比为常数且的点的轨迹是一个圆心在直线上的圆,该圆简称为阿氏圆.根据以上信息解决下面的问题:在长方体中,,点在棱上,,动点满足为棱的中点,为的中点.以为原点,所在的直线为轴,轴,轴,建立如图所示的空间直角坐标系.下列说法正确的是（ ）阿波罗尼奧斯
a．若点只在平面内运动,则点所形成的阿氏圆的半径为 |
b．若点只在平面内运动,则△的面积最小值为 |
| c．类比阿氏圆定义,点在长方体内部运动时,的轨迹为球面的一部分 |
d．若点在平面 内运动,则点到平面 的距离最小值为 |
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53次组卷
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1卷引用：黑龙江省齐齐哈尔市2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题
解题方法
7 . 已知正方体的棱长为1，
为棱
（包含端点）上的动点，下列命题正确的是（ ）
的棱长为1，为棱（包含端点）上的动点，下列命题正确的是（ ）a．二面角 的大小为 |
b． |
c．若在正方形内部，且 ，则点的轨迹长度为 |
d．若 平面 ，则直线 与平面所成角的正弦值的取值范围为 |
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244次组卷
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1卷引用：广西南宁市2023-2024学年高二上学期教学质量调研数学试题
名校
解题方法
8 . 在棱长为1的正方体中，、
为线段
上的两个三等分点，动点在
内，且
，则点的轨迹长度为（ ）
中，、为线段上的两个三等分点，动点在内，且，则点的轨迹长度为（ ）a． | b． | c． | d． |
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274次组卷
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3卷引用：河南省驻马店市环际大联考“逐梦计划”2023-2024学年高二上学期阶段考试（三）数学试题
2023·全国·模拟预测
解题方法
9 . 已知正方体的棱长为4，点
平面
，且
，则点m的轨迹的长度为（ ）
的棱长为4，点平面，且，则点m的轨迹的长度为（ ）a． | b． | c． | d． |
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225次组卷
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3卷引用：2024年全国高考名校名师联席命制型数学信息卷（八）
（已下线）2024年全国高考名校名师联席命制型数学信息卷（八）（已下线）2024年全国高考名校名师联席命制数学（文）信息卷（十一）（已下线）2024年全国高考名校名师联席命制数学（理）信息卷（十一）
名校
10 . 我们通常把圆、椭圆、抛物线､双曲线统称为圆锥曲线，通过普通高中课程实验教科书《数学》2-1第二章《圆锥曲线与方程》章头引言我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是一个圆，实际上，设圆锥母线与轴所成角为
，不过圆锥顶点的截面与轴所成角为
.当
，截口曲线为圆，当
时，截口曲线为椭圆；当
时，截口曲线为双曲线；当
时，截口曲线为抛物线；如图2，正方体
中，为边的中点，点在平面
上运动并且使
，那么点的轨迹是__________ .
，不过圆锥顶点的截面与轴所成角为.当，截口曲线为圆，当时，截口曲线为椭圆；当时，截口曲线为双曲线；当时，截口曲线为抛物线；如图2，正方体中，为边的中点，点在平面上运动并且使，那么点的轨迹是
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106次组卷
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1卷引用：安徽省合肥市第一中学2023-2024学年高二上学期1月考数学考试试题
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