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2023高二上·上海·专题练习
解题方法
1 . 如图所示的几何体中,四边形为正方形,
.
![](/uploads/image/idq21133stem/f4a30d0e07484bd7a7a93033f128b70c.png)
(1)求证:![](/uploads/image/squformula/f52a58fbaf4fea03567e88a9f0f6e37e.png)
平面
;
(2)若
,平面
平面.若
为
中点,求证:
.
![](/uploads/image/squformula/6ab1006748f0a9c2181e1144f9a7d9c1.png)
![](/uploads/image/idq21133stem/f4a30d0e07484bd7a7a93033f128b70c.png)
(1)求证:
![](/uploads/image/squformula/f52a58fbaf4fea03567e88a9f0f6e37e.png)
![](/uploads/image/squformula/fb31ef428bd9de9bc875b343feded3c7.png)
![](/uploads/image/squformula/10fc7991ea17d54ff5f4445ac5699463.png)
(2)若
![](/uploads/image/squformula/a775a5f8a5f08c08c67a1e5eaf8c823c.png)
![](/uploads/image/squformula/e4aa9084b8fe0fe05c4388d1f835587b.png)
![](/uploads/image/squformula/a0ed1ec316bc54c37c4286c208f55667.png)
![](/uploads/image/squformula/d2be49c37e30a3ced0364c3e74d8c687.png)
![](/uploads/image/squformula/f392902d611863c6908a48e696e7bd8f.png)
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解题方法
2 . 如图,已知四边形为平行四边形,
为
的中点,
,
.将
沿
折起,使点
到达点
的位置,使平面
平面
.
![](/uploads/image/idqe2126/dd77ac3c-09e0-432d-ab5e-969e8764ba93.png)
(1)求证:
;
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值.
![](/uploads/image/squformula/2a30f3a8b673cc28bd90c50cf1a35281.png)
![](/uploads/image/squformula/9d78abbad68bbbf12af10cd40ef4c353.png)
![](/uploads/image/squformula/3d2c15801fee2405573677484f5dcfa4.png)
![](/uploads/image/squformula/d59bc3943c9bc08400c3751b31c7ce00.png)
![](/uploads/image/squformula/a25c28359f8d8da9eaf4672a6cf8ae4f.png)
![](/uploads/image/squformula/68a83fdd2ba72a2dba0b6b10bb3e06b9.png)
![](/uploads/image/squformula/8455657dde27aabe6adb7b188e031c11.png)
![](/uploads/image/squformula/dad2a36927223bd70f426ba06aea4b45.png)
![](/uploads/image/squformula/94150b3de8f92462598101d4adc17dc3.png)
![](/uploads/image/squformula/01ff27eea7545bb06f9472f91290c54e.png)
![](/uploads/image/idqe2126/dd77ac3c-09e0-432d-ab5e-969e8764ba93.png)
(1)求证:
![](/uploads/image/squformula/12319a1cdcc58d25c30d2b3ab5848237.png)
(2)求平面
![](/uploads/image/squformula/0628681907ac8d7fdb94d8bc1b15feb9.png)
![](/uploads/image/squformula/64eb31601464364be2baf4aa87404bcd.png)
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285次组卷
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1卷引用:湖北省武汉市江岸区2024届高三上学期1月调考数学试题
解题方法
3 . 如图,在边长为4的正三角形
中,
、
分别为边
、
的中点,将
沿
翻折至
,得四棱锥
,设
为
的中点.
![](/uploads/image/idqe2125/0ab45639-1f53-421d-86b6-52509fd4756f.png)
(1)证明:
平面
;
(2)若平面
平面
,求平面
与平面
夹角的余弦值.
![](/uploads/image/squformula/7bef5239ddbb0972700ce01daf9ee7cf.png)
![](/uploads/image/squformula/2a30f3a8b673cc28bd90c50cf1a35281.png)
![](/uploads/image/squformula/a0ed1ec316bc54c37c4286c208f55667.png)
![](/uploads/image/squformula/f52a58fbaf4fea03567e88a9f0f6e37e.png)
![](/uploads/image/squformula/60ef95894ceebaf236170e8832dcf7e3.png)
![](/uploads/image/squformula/4c105d6ba18fbb0581fb982175e2eac9.png)
![](/uploads/image/squformula/49b50357a6545cae8348e3059312f520.png)
![](/uploads/image/squformula/eb2d555062f34d5a74f6d47da4ea8888.png)
![](/uploads/image/squformula/5318c615807c26bb0b014d1d4bea6144.png)
![](/uploads/image/squformula/dad2a36927223bd70f426ba06aea4b45.png)
![](/uploads/image/squformula/3ee8456443402a25b1e25d35ff7e1c98.png)
![](/uploads/image/idqe2125/0ab45639-1f53-421d-86b6-52509fd4756f.png)
(1)证明:
![](/uploads/image/squformula/eb3a99c3ef79e88a8ecbd6824fc7ae7f.png)
![](/uploads/image/squformula/923189afc198d153c79059a827f63c87.png)
(2)若平面
![](/uploads/image/squformula/004dd8ad9e5a200b3869ebfc59c2446d.png)
![](/uploads/image/squformula/a03952d664fba91020fc5f3bcf2f9746.png)
![](/uploads/image/squformula/5395f1811518a917a30e5949c4c8fc57.png)
![](/uploads/image/squformula/a09d9d486b7f91ba933210dd013a7f2c.png)
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53次组卷
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1卷引用:广东省汕头市2024届高三上学期期末调研测试数学试题
解题方法
4 . 已知正方体
,点
为线段
上的点,则满足
平面
的点
的个数为______ .
![](/uploads/image/squformula/6e09725691ee7851f54c0dee86b2bf55.png)
![](/uploads/image/squformula/dad2a36927223bd70f426ba06aea4b45.png)
![](/uploads/image/squformula/8cfbc0b5a8fbde804bd8425a4b76d207.png)
![](/uploads/image/squformula/d862fc2fe541999e0c175d32e90a81ec.png)
![](/uploads/image/squformula/b2bf9ef324f1289e205e29fed105c38e.png)
![](/uploads/image/squformula/dad2a36927223bd70f426ba06aea4b45.png)
![](/uploads/image/idqe2126/b3beadf5-7e29-4e00-aa0c-77e8fba03dd3.png)
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49次组卷
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2卷引用:上海市浦东区2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷
智能选题,一键自动生成优质试卷~
解题方法
5 . 如图所示,在矩形中,
,
,
,
为
的中点,以
为折痕将
向上折至
为直二面角.
![](/uploads/image/idqe2126/ad7dac1c-5adb-48d9-913e-33eb85d1d66b.png)
(1)求证:
;
(2)求平面
与平面
所成的锐角的余弦值.
![](/uploads/image/squformula/efc6e4b936d7a800e839a30c3839574d.png)
![](/uploads/image/squformula/09d27bd71d79cb19eb554175e4ef0867.png)
![](/uploads/image/squformula/71692d167f92589f2bd14a092f94c7ba.png)
![](/uploads/image/squformula/1dde8112e8eb968fd042418dd632759e.png)
![](/uploads/image/squformula/68a83fdd2ba72a2dba0b6b10bb3e06b9.png)
![](/uploads/image/squformula/68a83fdd2ba72a2dba0b6b10bb3e06b9.png)
![](/uploads/image/squformula/a25c28359f8d8da9eaf4672a6cf8ae4f.png)
![](/uploads/image/squformula/f18a490a22cac27417ddc794f00a1941.png)
![](/uploads/image/idqe2126/ad7dac1c-5adb-48d9-913e-33eb85d1d66b.png)
(1)求证:
![](/uploads/image/squformula/689b3adebb28db501aba48db1b4396a4.png)
(2)求平面
![](/uploads/image/squformula/3ddc76d96d6951ebfef3fe63892a1114.png)
![](/uploads/image/squformula/422210c777ac0d625bbd81cc7601bf9b.png)
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解题方法
6 . 如图1,在直角梯形abcd中,
,
,
,e是ad的中点,o是ac与be的交点.将
沿be折起到如图2中
的位置,得到四棱锥
.
![](/uploads/image/idqe2125/afcf2b45-159e-49f4-8a4a-0cca56632358.png)
(1)证明:
;
(2)当平面
平面
时,求三棱锥
的体积.
![](/uploads/image/squformula/f571396be1aa4a8914a66f7d7abd6381.png)
![](/uploads/image/squformula/ce0d7095ddd69d6ceaf1065b1bc2c79d.png)
![](/uploads/image/squformula/1e62ca104bd39a1646922b5836f1826b.png)
![](/uploads/image/squformula/e742966e3711cfa53dce04022acf4bcc.png)
![](/uploads/image/squformula/bcdfe7976bd3f16bfef5c6f1b4f20f23.png)
![](/uploads/image/squformula/2db2b1c641b93caae9b7a82441e4ba70.png)
![](/uploads/image/idqe2125/afcf2b45-159e-49f4-8a4a-0cca56632358.png)
(1)证明:
![](/uploads/image/squformula/8ed2a23c5569ecf4ab6ccf927a4ab46f.png)
(2)当平面
![](/uploads/image/squformula/c44c1843ff6150ebc6aad3e34e477d2d.png)
![](/uploads/image/squformula/2fa7bbd7831e9ff4f8cffc8889d34f05.png)
![](/uploads/image/squformula/5f56aa9529f74055afd5a6c4bf5de86d.png)
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61次组卷
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1卷引用:内蒙古呼和浩特市2024届高三上学期学业质量监测数学(文)试题
7 . 如图,矩形
与梯形
所在的平面垂直,
,
,
,
,p为
的中点.
![](/uploads/image/idqe2124/570dee82-40b5-47be-bed7-cf4624de4408.png)
(1)求证:平面
平面
;
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值.
![](/uploads/image/squformula/61ba6f4177822927b5875b92cd5f2038.png)
![](/uploads/image/squformula/cf8be22425679fbdc28350119f68c274.png)
![](/uploads/image/squformula/cf42cbb7e9a2329db76033ab6c636f1a.png)
![](/uploads/image/squformula/1f8110f7184b98a7e288482b367eacf7.png)
![](/uploads/image/squformula/45a2c6b816329d40ed6f7ee9c19de15d.png)
![](/uploads/image/squformula/fcd0ced286a0fbc7e4862f8147264277.png)
![](/uploads/image/squformula/f52a58fbaf4fea03567e88a9f0f6e37e.png)
![](/uploads/image/idqe2124/570dee82-40b5-47be-bed7-cf4624de4408.png)
(1)求证:平面
![](/uploads/image/squformula/cdb95dc57636516c9a88ad989cc5bd04.png)
![](/uploads/image/squformula/acd3bd9c2db8c9f3cb8c6c7d7cbf5465.png)
(2)求平面
![](/uploads/image/squformula/ca67a5b8f69507c8b80379e86f90a8ce.png)
![](/uploads/image/squformula/acd3bd9c2db8c9f3cb8c6c7d7cbf5465.png)
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192次组卷
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2卷引用:河南省周口市项城市2024届高三上学期1月阶段测试数学试题
2024·全国·模拟预测
解题方法
8 . 如图,在三棱锥
中,平面
平面abc,且
,
,e为棱pc的中点,f为棱pb上的点.
(1)证明:
;
(2)当
面积最小时,求四面体
的体积.
![](/uploads/image/squformula/63397cda22cb1fad59cf966dfb588643.png)
![](/uploads/image/squformula/6d077f6da8b2c00b152d4679aa2ed7f7.png)
![](/uploads/image/squformula/a9082547ec262e00ece8072817097d4e.png)
![](/uploads/image/squformula/d49f38df24000f71e83898ee0b887799.png)
![](/uploads/image/idqe213/6764eea7-9260-4a3b-9be6-0e57d12c5b01.png)
(1)证明:
![](/uploads/image/squformula/fbfbaf73297240eb116f22489519895a.png)
(2)当
![](/uploads/image/squformula/4c105d6ba18fbb0581fb982175e2eac9.png)
![](/uploads/image/squformula/b115316e0fcd2ef46a4dd383472996e4.png)
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224次组卷
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2卷引用:2024年全国高考名校名师联席命制数学(文)信息卷(三)
(已下线)2024年全国高考名校名师联席命制数学(文)信息卷(三)(已下线)模块三 专题4 大题分类练(立体几何)拔高能力练
2023·全国·模拟预测
解题方法
9 . 如图,在三棱锥
中,平面
平面
,且
,
,e为棱
的中点,f为棱
上的点.
(1)证明:
;
(2)当
面积最小时,求直线
与平面
所成角的正弦值.
![](/uploads/image/squformula/63397cda22cb1fad59cf966dfb588643.png)
![](/uploads/image/squformula/6d077f6da8b2c00b152d4679aa2ed7f7.png)
![](/uploads/image/squformula/7bef5239ddbb0972700ce01daf9ee7cf.png)
![](/uploads/image/squformula/fad5aee0686d031a191ae77178655290.png)
![](/uploads/image/squformula/e40e859e8fc382965382b48183af0f43.png)
![](/uploads/image/squformula/48f3c9abbd78e9a6840ee5f30381daac.png)
![](/uploads/image/squformula/d2be49c37e30a3ced0364c3e74d8c687.png)
![](/uploads/image/idqe2123/15bd3140-e2c1-4114-8753-828a00943850.png)
(1)证明:
![](/uploads/image/squformula/fbfbaf73297240eb116f22489519895a.png)
(2)当
![](/uploads/image/squformula/4c105d6ba18fbb0581fb982175e2eac9.png)
![](/uploads/image/squformula/4cae70b8a9d2d2e96dea62c00ced04b9.png)
![](/uploads/image/squformula/1e582d73b96ba649378379c3074d506d.png)
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72次组卷
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2卷引用:2024年全国高考名校名师联席命制型数学信息卷(七)
(已下线)2024年全国高考名校名师联席命制型数学信息卷(七)(已下线)2024年全国高考名校名师联席命制数学(理)信息卷(四)
2023·全国·模拟预测
解题方法
10 . 已知四棱锥
如图所示,平面
平面,四边形为菱形,
为等边三角形,直线
与平面
所成角的正切值为1.
![](/uploads/image/idqe2123/879f0096-0a97-41d7-b85b-b45ed78b7986.png)
(1)求证:
;
(2)若点m在线段ad上靠近a的四等分点,求平面
与平面
夹角的余弦值.
![](/uploads/image/squformula/faeb97acf19bd3b2c6c77c2814df4d2f.png)
![](/uploads/image/squformula/877582b5387278008d14fe5932622fe7.png)
![](/uploads/image/squformula/5830322dd2824ed012a68f1a2bd9c742.png)
![](/uploads/image/squformula/3d4db9b82b67efe45a02fca32bfcf5dc.png)
![](/uploads/image/squformula/4d923a338dd2d2e29336b42574d38448.png)
![](/uploads/image/idqe2123/879f0096-0a97-41d7-b85b-b45ed78b7986.png)
(1)求证:
![](/uploads/image/squformula/5578cd49feb7c846f087b041371c3875.png)
(2)若点m在线段ad上靠近a的四等分点,求平面
![](/uploads/image/squformula/37f60d56d9ef0e298116614c565081a8.png)
![](/uploads/image/squformula/21665d21bbfb04410c78345de1fd15ae.png)
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93次组卷
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2卷引用:2024年全国高考名校名师联席命制型数学信息卷(八)
(已下线)2024年全国高考名校名师联席命制型数学信息卷(八)(已下线)2024年全国高考名校名师联席命制数学(理)信息卷(十一)
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