等比数列的简单应用 习题/试题/练习题/测试题及答案-k8凯发

1 . 在一个传染病流行的群体中，通常有3类人群：

类别	特征
类（susceptible）	易感染者，体内缺乏相关抗体，与类人群接触后易变为类人群．
类（infectious）	感染者，可以接触类人群，并把传染病传染给类人群；康复后成为类人群．
类（recovered）	康复者，指病愈而具有免疫力的人群，或被隔离者；若抗体存在时间有限，可能重新转化为类人群．

在一个1000人的封闭环境中，设第天类，类，类人群人数分别为．其中第1天．为了简化模型，我们约定各类人群每天转化的比例参数恒定：

日感染率	日治愈率	日消抗率
类类占当天类比例	类类占当天类比例	类类占当天类比例

已知对于某类传染病有：（即：产生抗体后永久免疫）．
(1)求和；
(2)求证存在，使得是一个等比数列，并求出和．

2 . 《尘劫记》是在元代的《算学启蒙》和明代的《算法统宗》的基础上编撰的一部古典数学著作，其中记载了问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生16只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了16只小老鼠，一共有18只；2个月后，每对老鼠各生了16只小老鼠，一共有162只．以此类推，假设个月后共有老鼠只，则_________．

3 . 十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作：再将剩下的两个区间分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作：...，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和小于，则操作的次数的最大值为__________.
（参考数据：）

4 . 形状、声音等现象可以分解成自复制的结构，即相同的形式会按比例逐渐缩小，并无限重复下去．如图所示，将图1的正三角形的各边都三等分，以每条边中间一段为边再向外做一个正三角形，去掉中间一段得到图2，称为“一次分形”，此时图2周长是图1周长的____倍；用同样的方法把图2中的每条线段重复上述操作，得到图3，称为“二次分形”；依次进行“次分形”，得到一个周长不小于初始三角形周长100倍的分形图，则最小值是_________．（参考数据：）

5 . 某企业2023年的纯利润为500万元，因为企业的设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降．若不进行技术改造，预测从2015年开始，此后每年比上一年纯利润减少20万元．如果进行技术改造，2024年初该企业需一次性投入资金600万元，在未扣除技术改造资金的情况下，预计2024年的利润为750万元，此后每年的利润比前一年利润的一半还多250万元．
(1)设从2024年起的第n年（以2024年为第一年），该企业不进行技术改造的年纯利润为万元；进行技术改造后，在未扣除技术改造资金的情况下的年利润为万元，求和；
(2)设从2024年起的第n年（以2024年为第一年），该企业不进行技术改造的累计纯利润为万元，进行技术改造后的累计纯利润为万元，依上述预测，从2024年起该企业至少经过多少年，进行技术改造的累计纯利润将超过不进行技术改造的累计纯利润？

9 . 已知数列的前项和为，正整数满足：①；②是满足不等式的最小正整数，则下列选项正确的是（       ）

a．

b．

c．

d．

10 . 某公司2022年投资4千万元用于新产品的研发与生产，计划从2023年起，在今后的若干年内，每年继续投资1千万元用于新产品的维护与生产，2022年新产品带来的收入为0.5千万元，并预测在相当长的年份里新产品带来的收入均在上年度收入的基础上增长.记2022年为第1年，为第1年至此后第年的累计利润（注：含第年，累计利润累计收入累计投入，单位：千万元），且当为正值时，认为新产品赢利.（参考数据，，，）
(1)试求的表达式；
(2)根据预测，该新产品将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由.